十八世纪数学

2015/4/7 15:32:00作者:来源:查看评论0条)字号:

  将微积分学深入发展,是十八世纪数学的主流。这种发展是与广泛的应用紧密交织在一起的,并且刺激和推动了许多新分支的产生,使数学分析形成了在观念和方法上都具有鲜明特点的独立的数学领域。

  在十八世纪特别是后期,数学研究活动和数学教育方式也发生了变革。这一切使十八世纪成为向现代数学过渡的重要时期。

  微积分学的发展

  在十八世纪,无限小算法的推广,在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。不列颠数学家们在剑桥、牛津、伦敦、爱丁堡等著名的大学里传授和研究牛顿的流数术,代表人有科茨、泰勒、麦克劳林、棣莫弗和斯特林等。

  泰勒发现的著名公式使人们有可能通过幂级数展开来研究函数;马克劳林的《流数论》可以说是对微积分最早的系统处理,该书是为反驳伯克利主教《分析学家》一文而作,后者出于宗教的动机,对牛顿流数论中存在的无限小概念混乱提出了尖锐批评,引起了关于微积分基础的论战。

  泰勒、马克劳林之后,英国数学陷入了长期停滞、僵化的状态。十八世纪初即已爆发的微积分发明权的争论,滋长了不列颠数学家们浓厚的民族保守情绪,他们囿于牛顿的传统,难以摆脱其迂回的几何手法等弱点的束缚。与此相对照,在海峡的另一边,新分析却在莱布尼茨的后继者们的推动下蓬勃发展起来。

  推广莱布尼茨学说的任务,主要由他的学生、瑞士巴塞尔的雅各布第一·伯努利和约翰第一·伯努利两兄弟担当,而这方面最重大的进步则是由欧拉作出的。

  欧拉于1748年出版了《无穷小分析引论》,这部巨著与他随后发表的《微分学》、《积分学》标志着微积分历史上的一个转折:以往的数学家们都以曲线作为微积分的主要研究对象,而欧拉则第一次把函数放到了中心的地位,并且是建立在函数的微分的基础之上。函数概念本身正是由于欧拉等人的研究而大大丰富了。

  数学家们开始明确区分代数函数与超越函数、隐函数与显函数、单值函数与多值函数等;通过一些困难积分问题的求解,诸如B函数、椭圆不定积分等一系列新的超越函数被纳入函数的范畴;已有的对数、指数和三角函数的研究不仅进一步系统化,而且被推广到复数领域。

  在十八世纪,数学家们对于函数、导数、微分、连续性和级数收敛性等概念还没有形成统一的见解,他们往往不顾基础问题的薄弱而大胆前进。尽管如此,许多人对建立微积分的严格基础仍作出了重要的尝试。除了欧拉的函数理论外,另一位天才的分析大师拉格朗日采取了所谓“代数的途径”。他在1797年出版的《解析函数论》一书中,主张用泰勒级数来定义导数,并以此作为整个微分、积分理论之出发点。

  达朗贝尔则发展了牛顿的“首末比方法”,但用极限的概念代替了含糊的“最初与最终比”的说法。如果说欧拉和拉格朗日的著作引入了分析的形式化趋势,那么,达朗贝尔则为微积分的严格表述提供了合理的内核。19世纪的严格化运动,正是这些不同方向融会发展的结果。

  数学与力学开始结合

  数学同力学的有机结合,是十八世纪数学的另一个鲜明特征。这种结合,其紧密的程度为数学史上任何时期所不能比拟。几乎所有的数学家都以巨大的热情,致力于运用微积分新工具去解决各种物理、力学问题。

  欧拉的名字同流体力学和刚体运动的基本方程联系着;拉格朗日最享盛名的著作《分析力学》,“将力学变成了分析的一个分支”;拉普拉斯则把数学看作是研究力学天文学的工具,他的许多重要数学成果正是包含在他的五大卷《天体力学》中。

  这种广泛的应用成为新的数学思想的源泉,而使数学本身的发展大大受惠。一系列新的数学分支在十八世纪成长起来。

  达朗贝尔关于弦振动的著名研究,导出了弦振动方程及其最早的解,成为偏微分方程论的发端。另一类重要的偏微分方程──位势方程,主要通过对引力问题的进一步探讨而获得。与偏微分方程相联系的一些较为深入的理论问题也开始受到注意。

  拉格朗日发展了解一阶偏微分方程的一般理论;对不同类型的二阶方程的研究还促使欧拉、达朗贝尔等具备了将函数展为三角级数的概念。

  常微分方程的研究进展更为迅速。三体问题、摆的运动及弹性理论等的数学描述,引出了一系列的常微分方程,其中以三体问题最为重要,二阶常微分方程在其中扮演了中心角色。

  数学家起先是采用各种特殊的技巧对付不同的方程,但渐渐地开始寻找带普遍性的方法。这样,欧拉推广了约翰第一·伯努利的积分因子和常数变易法;黎卡提在以他的名字命名的非线性方程的研究中,首创了后来成为处理高阶方程主要手段的降阶法;泰勒最先引起人们对奇异解存在性的注意;欧拉在1750年解出了一般的常系数线性方程,他还引进超几何级数作为解二阶线性方程的基础;对全微分方程的研究亦由欧拉、拉格朗日和蒙日等开展起来。

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