正十七边形尺规作图

2014-6-25 15:59:00作者:佚名来源:网络查看评论0条)字号:

    

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     正十七边形可以用尺规作出来,这是高斯1796年19岁时证明的。这是正多边形尺规作图两千年来头一次有所突破——换句话说,上一次人们发现新的正多边形尺规作图法还是在古希腊。

  但是,高斯本人实际上并不会做正十七边形。第一个真正的正十七边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格给出,而上面的这个方法——“卡莱尔圆法”则要更晚。

  那高斯怎么就知道正十七边形是可以做出来的呢?因为他懂数学。他已经知道,如果一个正多边形内角的三角函数能用加减乘除和开平方表达出来,那就意味着这个正多边形能用尺规做出来。(尺规等价于只使用圆和直线的交点作图,直线的表达式是二元一次方程,圆的表达式是二元二次方程,所以只用到了加减乘除和开平方。)而他又证明了,只要正多边形的边数n是费马素数,那么就能这么表达。当时人们已经知道前五个费马素数是3、5、17、257和65537,所以高斯等于一举证明了这五种正多边形都是尺规可做的。

  不过,正三边形(好吧,正三角形)和正五边形人们早知道了,而正257边形什么的做起来又太麻烦,所以最后正十七边形成了最出名的。

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